Área bajo la curva mediante suma de rectangulos: La función seno.

Antes de sumergirnos en el problema sugiero una lectura a la primera sección del capitulo 12 del libro Análisis matemático de Hasser, La Salle, Sullivan. 

También me gustaría recalcar que estrictamente hablando, no estoy utilizando las Sumas de Riemann. 

Una vez dicho esto, comencemos.

Sea una función acotada tal que , nos daremos a la tarea de hallar el área acotada por la función y el eje x mediante la suma de rectangulos contenidos entre estos dos .

Sabamos de antemano que es una función actotada entre [0,1] por lo que es continua en todo punto de su dominio.

Para empezar, proponemos la partición regular, donde y . Entonces definimos el área como
    que no es otra cosa que la suma de n rectángulos de base Δx y altura f(x¡)

Con el fin de ahorrarnos un par de caracteres y facilitar la resolución del problema, haremos a θ = π/n de tal forma que la suma sea

Ahora solo tenemos que resolver la suma para dejarla unicamente en terminos de n, para lo cual utilizaremos la identidad trigonométrica estableciendo a x= θi  y y=θ/2  (esto lo hacemos ya que la identidad trigonométrica lo permite y porque necesitamos un valor para desarrollarla en términos mas simples). Luego

Reescribiendo la suma

 

La suma ahora tiene una expresión de la forma  , establecemos entonces . Entonces
 

  Por convergencia de  sumas telescópicas.

 

Trabajando con el segundo coseno tenemos

Así, la igualdad original es reescrita de la siguiente manera 

    Por transitividad.

El área bajo la curva está definida por , pero como, necesitamos hacer el cambio de limite a
Por lo que nuestra definición de área resulta en . Entonces

    Todos son  límites conocidos

Por lo que podemos concluir que el área acotada por la función y el eje x es 2.

 Es fácil comprobar el resultado usando las formulas de integración, sin embargo aqui lo haremos haciendo uso de python, pero como no es el objetivo del post no explicare el código.

from math import pi, sin

def solve( cota, funcion, rectangulos ):

    areas_inf = []

    areas_sup = []

    dx = (cota[1]- cota[0])/rectangulos

    xi = cota[0]

    for _ in range(rectangulos-1):

        areas_inf.append(funcion(xi)*dx)

        xi += dx

    xi = dx

    for _ in range(rectangulos):

        areas_sup.append(funcion(xi)*dx)

        xi += dx

    if (sum(areas_sup) - sum(areas_inf))< 1/100:

        return round(sum(areas_sup))

    return sum(areas_sup)

dom = [0,pi]

f = lambda x: sin(x)

solucion = solve(dom, f, 100)

print(solucion)

 

[Running] python -u ".\Documents\area.py"

2

[Done] exited with code=0 in 0.302 seconds

 Adjunto un video dónde se explica como se construye la suma para la función seno.